您可能会在不同的环境中遇到本章中介绍的三种进制数基。在某些情况下，您可能需要从一种基础转换为另一种基础。本节首先展示如何在二进制和十六进制之间进行转换，因为这两者很容易相互映射。之后，我们将探讨十进制之间的转换。
4.2.1. 二进制和十六进制之间的转换
由于二进制和十六进制的基数都是 2 的幂，因此两者之间的转换相对简单。具体来说，每个十六进制数字保存 16 个唯一值之一，四位也代表 24 = 16 个唯一值，使得它们的表达能力相当。 表 1 枚举了任何四位序列与任何单个十六进制数字之间的一对一映射。
表 1. 所有四位序列与一位十六进制数之间的对应关系
| Binary | Hexadecimal | Binary | Hexadecimal |
|---|---|---|---|
| 0000 | 0 | 1000 | 8 |
| 0001 | 1 | 1001 | 9 |
| 0010 | 2 | 1010 | A |
| 0011 | 3 | 1011 | B |
| 0100 | 4 | 1100 | C |
| 0101 | 5 | 1101 | D |
| 0110 | 6 | 1110 | E |
| 0111 | 7 | 1111 | F |
请注意，表 1 的内容相当于简单地在两种数字系统中从 0 数到 15，因此无需记住它。有了这个映射，您可以在任一方向上转换任意数量的连续位或十六进制数字：
- 将 0xB491 转换为二进制，只需将每个十六进制数字替换为相应的二进制值即可：
B 4 9 1
1011 0100 1001 0001 -> 0b1011010010010001
- 将 0b1111011001 转换为十六进制，首先将这些位从右到左分成四个块。如果最左边的块没有四位，则可以用前导零填充。然后，替换相应的十六进制值：
1111011001 -> 11 1101 1001 -> 0011 1101 1001
^ padding
0011 1101 1001
3 D 9 -> 0x3D9
4.2.2. 转换为十进制
幸运的是，将值转换为十进制是我们在本章前面的部分中一直在做的事情。给定一个以任意基数B的数字，将从右到左的系数标记为d0、d1、d2等，可以使用将值转换为十进制的通用公式：
(dN-1 × BN-1) + (dN-2 × BN-2) + … + (d2 × B2) + (d1 × B1) + (d0 × B0)
4.2.3. 从十进制转换
从十进制转换为其他系统需要更多的工作。非正式地，目标是执行与上一个公式相反的操作：确定每个数字的值，以便根据数字的位置，将每一项相加得到源十进制数。以与我们描述小数位（“个”位、“十”位等）相同的方式来思考目标基本系统中的每个数字可能会有所帮助。例如，考虑从十进制转换为十六进制。十六进制数的每一位都对应于 16 的越来越大的幂，表 2 列出了前几个幂。
表 2. 16 的幂。
| 164 | 163 | 162 | 161 | 160 |
|---|---|---|---|---|
| 65536 | 4096 | 256 | 16 | 1 |
例如，要将 9742 转换为十六进制，请考虑：
-
9742 可以容纳 65536 的多少倍数(换句话说，9742被65536整除商是多少)？ （也就是说，“65536”这个地方的值是多少？）
生成的十六进制值不需要任何 65536 的倍数，因为值 (9742) 小于 65536，因此 d4 应设置为 0。请注意，通过相同的逻辑，所有更高编号的数字也将为 0，因为每个数字将贡献比 65536 更大的值。到目前为止，结果仅包含：
| 0 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 164 | 163 | 162 | 161 | 160 |
| 65536 | 4096 | 256 | 16 | 1 |
| d4 | d3 | d2 | d1 | d0 |
-
_9742 能容纳多少 4096 的倍数？ （也就是说，“4096”这个地方的价值是多少？）
4096 整除 9742 两次 (2 × 4096 = 8192)，因此 d3 的值应为 2。因此，d3 将为整体值贡献 8192，因此结果仍必须占 9742 - 8192 = 1550。
| 0 | 2 | |||
|---|---|---|---|---|
| 164 | 163 | 162 | 161 | 160 |
| 65536 | 4096 | 256 | 16 | 1 |
| d4 | d3 | d2 | d1 | d0 |
-
1550 能容纳多少 256 的倍数？ （也就是说，“256”位的值是多少？）
256 整除 1550 六次 (6 × 256 = 1536)，因此 d2 的值应为 6，剩下 1550 - 1536 = 14。
| 0 | 2 | 6 | ||
|---|---|---|---|---|
| 164 | 163 | 162 | 161 | 160 |
| 65536 | 4096 | 256 | 16 | 1 |
| d4 | d3 | d2 | d1 | d0 |
-
14 能容纳多少 16 的倍数？ （也就是说，“十六”位的值是多少？）
14不能被16整除，因此 d1 必须为 0。
| 0 | 2 | 6 | 0 | |
|---|---|---|---|---|
| 164 | 163 | 162 | 161 | 160 |
| 65536 | 4096 | 256 | 16 | 1 |
| d4 | d3 | d2 | d1 | d0 |
-
最后，14 能容纳多少个 1 的倍数？ （换句话说，“个”位的值是多少？）
答案当然是 14，十六进制用数字
E表示。
| 0 | 2 | 6 | 0 | E |
|---|---|---|---|---|
| 164 | 163 | 162 | 161 | 160 |
| 65536 | 4096 | 256 | 16 | 1 |
| d4 | d3 | d2 | d1 | d0 |
因此，十进制 9742 对应于 0x260E。
十进制转二进制：二的幂
相同的过程也适用于二进制（或任何其他数字系统），前提是您使用适当基数的幂。 表 3 列出了 2 的前几个幂，这将有助于将示例十进制值 422 转换为二进制。
表 3. 2 的幂
| 28 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
因为单个位只允许存储 0 或 1，所以转换为二进制时，问题不再是 “不同层级指数的基数能整除的商(系数)？”。相反，问一个更简单的问题：“2 的下一次幂(指数)能整除吗？” 例如，在转换 422 时：
- 256 整除 422，因此 d8 应为 1。剩下 422 - 256 = 166。
- 128 整除 166，所以 d7 应该是 1。剩下 166 - 128 = 38。
- 64 无法整除 38，因此 d6 应为 0。
- 32 整除 38，所以 d5 应该是 1。剩下 38 - 32 = 6。
- 16 无法整除 6，因此 d4 应为 0。
- 8 无法整除 6，因此 d3 应为 0。
- 4 整除 6，所以 d2 应该是 1。剩下 6 - 4 = 2。
- 2 适合 2，因此 d1 应为 1。这样就剩下 2 - 2 = 0。（注意：达到 0 后，所有剩余数字将始终为 0。）
- 1 无法整除 0，因此 d0 应为 0。
因此，十进制 422 对应于 0b110100110。
十进制转二进制：重复除法(辗转相除法)
我们刚刚描述的方法通常对于熟悉 2 的相关幂的学生来说效果很好（例如，对于 422，转换器必须认识到它应该从 d8 开始，因为
= 512 太大）。
另一种方法不需要知道二的幂。相反，此方法通过检查十进制数的奇偶校验（偶数或奇数）状态并重复将其除以二（向下四舍五入）以确定每个连续位来构建二进制结果。请注意，它从_右到左_构建结果位序列。如果十进制值为偶数，则下一位应为零；如果是奇数，下一位应该是 1。当除法达到零时，转换完成。
例如，转换 422 时：
- 422 是偶数，因此 d0 应为 0。（这是最右边的位。）
- 422 / 2 = 211，这是奇数，因此 d1 应为 1。
- 211 / 2 = 105，这是奇数，因此 d2 应为 1。
- 105 / 2 = 52，是偶数，因此 d3 应为 0。
- 52 / 2 = 26，是偶数，因此 d4 应为 0。
- 26 / 2 = 13，这是奇数，因此 d5 应为 1。
- 13 / 2 = 6，是偶数，因此 d6 应为 0。
- 6 / 2 = 3，这是奇数，因此 d7 应为 1。
- 3 / 2 = 1，这是奇数，因此 d8 应为 1。
- 1 / 2 = 0，因此任何编号为 9 或以上的数字都将为 0，并且算法终止。
正如预期的那样，此方法生成相同的二进制序列：0b110100110。